实变函数期末复习

整体架构

集合与点集

集合相关概念
- 集合的运算
  - 概念：对称差$\Delta$
  - 交换、结合、分配律
- 集合上极限、下极限
映射、基数与可数集
- 【伯恩斯坦定理】A基数B基数相等
- 无限集
  - 【充要条件】有真子集Y,$Y\sim X$
  - 无限集→有可数子集Y且X$\cup$Y基数和X相同
- 可数集
  - 可列个可数集的并是可数集
- 不可数集
  - c：连续基数
  - 任意非空集合A的幂集基数>A的基数
$R^n$中的点集
- n维欧氏空间，刻画距离→有界集合直径→无界集合
- 距离$\overset{\text{柯西收敛准则}}{\to}$点列极限$\to$函数连续性
- 开集【未必开区间】
  - 有限开集交
  - 任意开集并
  - 【充要】所有点都是内点
  - 【构造】R中非空开集：至多可数个不相交构成区间的并
  - 【例】未必能写出：有理数集
- 闭集【未必闭区间】
  - 有限闭集并
  - 任意闭集交
  - 【充要】导集$\subseteq$本身
  - 【概念】完备集：所有点都是聚点，导集=本身
  - 【构造】R本身或挖掉至多可数个开区间
  - 【例】Cantor集：有界不可数闭集，完备集，稠密性（无内点）
集类选讲
- 集类
  - 半集代数
  - 集代数
  - 环
- $\sigma$环和$\sigma$代数
- 单调类
  - 环+单调类→$\sigma$环
  - 定义：X上有限交封闭的集类K为$\pi^-$类
  - $X\in K$,K减法封闭，极限封闭，则为$\lambda^-$类

测度理论

勒贝格测度
- 勒贝格外测度【所有集合】
 - 非负性、单调性、平移不变性
 - 次可加性
- 勒贝格测度【可测集】【可测集全体是$\sigma$代数】
 - 【卡拉泰奥多里条件】E可测 $\iff m^*(T\cap E) + m^*(T\cap E^c) = m^*(T),\forall T\subset R$
 - $\iff m^*(A) + m^*(B) = m^*(A\cup B),\forall A\subset E, B \subset E^c$
 - 【内测度】$\iff m^E = m_E$（有界闭集的上确界）
 - 【开覆盖】$\forall \epsilon >0$存在开集$G\supset E,m^*(G-E)<\epsilon$
 - 【内含】存在闭集$F\subset E$，同上
 - 【$F_\sigma,G_\delta$】$mF_\sigma = mG_\delta = mE$ 注意上面的$\epsilon$未必能取0
勒贝格测度的性质
- 可测集对逆、可列并封闭
- 单调性、可减性、极限和m交换顺序
测度空间
- 测度空间的测度性质：单调、可减、次可列可加、上下连续
不可测集
- 【例】将[0,1]上的数划分成有理数类，同一类中的数相减是有理数，每个类取1个数组成$Z$,Z是不可数集。

可测函数

可测函数充要条件
- $ \iff E(f>\lambda)$等是可测集
- $\iff$任意开集$G\subset \mathbb{R},f^{-1}(G)$是可测集
- 非负可测$\iff$存在单增简单非负函数列，$\lim\limits_{n \to \infty}f_n = f$
- 【连续】任意开集$G\subset \mathbb{R},f^{-1}(G)$是开集【可测是连续的推广】
- 【可微】如果$f$在[a,b]可微，则$f^\prime$在区间上可测
- 可测函数对+-$\cdot$÷绝对值封闭
- 定义：supp(f) = {x:f(x)≠0}支集有界 = 紧支集
- 【正例】：可测集E上的常函数、简单函数、单增非负简单函数列极限、可测函数列上下界上下极限、$R^n$上的连续函数
- 【反例】：[0,1]上不可测集Z的特征函数
- 【常用构造】$f_n(x) = \left{\begin{align}&k/2^n,k/2^n\le f<(k+1)/2
 &n,f\ge n\end{align}\right.\$相当于把上界截掉了，通过控制y的极差来控制x的集合大小

可测函数列的收敛性

几乎一致收敛(差$\forall\delta$，记$a.u.$)
- 【常用表示法】$E[f_n\to f] = \cap_m\cup_N\cap_{k=N}E[\vert f_n-f\vert<1/m]$
- 【Egorov定理】有限集E，$a.s.$有限$f_n→f$，几乎一致收敛。（E有限时，a.s.收敛= a.s.一致收敛）
- 例：{$x^n$}在$(0,1-\delta)$上
- 反例：$m(E)=+\infty,f_n = \chi_{(0,n)}(x),f_n→1$
- 反例：$\delta =0$,$x^n$在[0,1]上，始终有$x_k>\sqrt[k]{1/2}$

依测度收敛

【充要条件】 E上a.s.有限$\lim\limits_{i,j→\infty}m(

f_i-f_j

>\epsilon) = 0$

【勒贝格定理】有限集E，$f_na.s.$有限、可测、收敛，$f_n\Rightarrow f$（E有限，a.s.一致收敛→依测度收敛）
【里斯定理】E上a.s.有限可测$f_n\Rightarrow f$,有子列 a.u.
【依测度，不a.u.例】$f_k = \chi_{[\frac{i}{2^m},\frac{i+1}{2^m}]},k = 2^m+i$，m越大，[0,1]划分地越细，数列有无穷多0和1，处处不收敛，但是测度被m界住，趋于0

可测函数和连续函数【阶梯函数呢？】
- 【卢津定理】【a.s.有限的可测函数a.s.连续】可测$f(x)a.s.$有限，存在E的闭集$F_\delta$让$f$连续
- 反例：$\delta = 0$,让不连续点测度>0.构造区间长度$l=(\frac{1}{4})^n$,挖完剩下的集合是闭集且处处不连续。
- 【弗雷歇定理】【a.s.有限的可测函数可由连续函数列逼近】$\exists f_n(x)$连续函数列$a.u.f(x)\iff f(x)$可测

勒贝格积分

黎曼积分充要条件
- [a,b]定义域+函数有界+不连续点测度 = 0
- 定理：闭区间上，单调函数R可积【有界、不连续点至多可数】
- 【R可积和$\lim\limits$交换条件】有界闭集[a,b],黎曼可积函数列$f_n$一致收敛
- 有限集E，R可积→L可积；R积分 = L积分【对瑕积分也成立】
- 无限集，R相对收敛未必L可积。【例】$E =(0,+\infty),f =\frac{\sin x}{x}$
有界函数勒贝格积分
- 定义：存在分划，大和、小和无限接近
- 【$S\neq s$】任何不对等于简单函数的有界可测函数都有未必存在分划D,使$S=s$【但是简单函数列可以逼近任何有界可测函数】
- 【达布定理】【黎曼成立，勒贝格不成立】对于任意的划分D，当小区间测度→0的时候，大和S趋向于下积分，小和s趋向于上积分。
- 定理：有限集E，有界函数，则可测 $\iff$L可积
- 定理：有限集E，L可积类对+-$\cdot$÷绝对值封闭
- 计算：对函数拆分（非负可测可列可加性）、对积分域拆分、数乘、夹逼、绝对值不等式(对E没限制)
- 如果非负函数积分是0，那么f几乎处处为0
- 零测集上f积分=0
一般函数勒贝格积分(E可以无限)
- 定义：L积分值有限 = L可积
- 定理：f(x)L可积 → 几乎处处有限
- 定理：f(x)L可积,E有界 → $\exists \phi(x)$连续，$s.t.\int_{[a,b]} f-\phi dx<\epsilon$
- 【常用假设】$mE = \infty$时，由非负可测积分的定义， $\forall \epsilon>0,\exists E_k \subset E,m E_k<\infty,s.t.\\ \int_E F(x)dx<\int_{E_k}[F(x)]_kdx+\frac{\epsilon}{4}$
积分的极限定理【前三定理等价】
- 【勒贝格控制收敛定理】$f_n$可测,$f_n\le F,a.e.[E]，F$可积,$f_n\Rightarrow f$，则$\int$和$\lim$可交换【常用来构造函数列求积分值】
- 【莱维单调收敛定理】$f_n,f$非负可测,$f_n$单增,一致收敛，则$\int$和$\lim$可交换
- 【法图引理】$f_n$非负可测,$\int_E\varliminf\limits_{n→\infty}f_n dx\le \varliminf\limits_{n→\infty}\int_Ef_n dx$
- 【Fatou不等号成立的例子】不等式中左边是0，右边是1/2. $f_n = \left\{\begin{align*} &n,1/2n\le x<1/n\\ &0,1/n<x\le 1\text{ or }0<x\le 1/2n \end{align*}\right.$
- 【勒贝格逐项积分定理】【$\int$和$\sum$交换】非负可测$f_n$,$\int_E\sum\limits_{n=1}^\infty f_ndx = \sum\limits_{n=1}^\infty\int_Ef_n dx$
- 【导数和积分】$f(x,t)$是可积函数，对几乎所有x,有偏导，定义域是有限闭集,偏导被L可积的g控制，则可交换导数和$\int$
乘积测度与勒贝格积分的几何意义
- 【截面定理】多维可测集固定x，$E_x$仍是可测集，$mE_x$是可测函数,$mE = \int_RmE_xdx$
- 【分解笛卡尔乘积】如果C = A×B,$m(C) = m(A)\cdot m(B)$
- 【非负可测函数L积分也是测度】G(E,f)下方图形可测$\iff f$是可测函数；可测时$mG = \int_Efdx$
- 【积分和测度的关系】$mE = \int_E \phi (x)dx$E可测$\iff$特征函数非负可测；$m\underline{G}_E(f^+)-m\underline{G}_E(f^-) = \int_E fdx$
Fubini定理【高维、低维积分关系】
- $f(x,y)$ L可积，$f(y)$L可积则$g(x) = \int_R^qf(x,y)dy$L可积且二重积分和二次积分相等
- 【计算重积分步骤】【完整性】写出积分集合，证明是可测集；写出积分函数，证明是可测函数；重积分转化成累次积分；L积分转换成R积分，计算。
- 【反例】【累次积分存在，重积分不存在】[-1,1]x[-1,1],累次积分均为0。【用反证法证明二重积分在[0,1]x[0,1]上不可积】 $f(x,y) = \left\{\begin{align*} &\frac{xy}{(x^2+y^2)^2},x^2+y^2>0\\ &0,x^2+y^2=0 \end{align*}\right.$

$L^p$空间

$L^p$空间的范数和度量

【注意讨论p的大小】本性有界$p = +\infty$，p次可积$p <+\infty$
【柯西不等式】非负函数，$\alpha + \beta =1;\int f^\alpha g^\beta dx\le(\int fdx)^\alpha(\int g dx)^\beta$

【Holder不等式】p,q共轭指标$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,f\in L^p(E),g \in L^q(E),

_1\le

_q$

【Minkovski不等式】【可以推广到$+\infty$当$f_ka.e.$收敛】$p\ge 1,f,g\in L^p(E),

f+g

_p\le

_p+

_p$

【凸函数性质推广】E可测集,$a<f(x)<b,\phi$是凸函数且$\phi(f)L$可积，则$\phi(\frac{\int_Efdx}{mE})\le \frac{\int_E\phi(f)dx}{mE} $

$L^p$空间的性质
定理:$f_n→f(L^p)$，则$f_n$有界,$f_n\Rightarrow f$，从而满足依测度收敛的性质(子列a.u.，柯西列充要)
【一般L积分定理2推广】$f\in L^p([a,b]),\exists \phi$连续，$ f-\phi _p<\epsilon$
【稠密性】$1\le p<+\infty$，存在可数子集在$L^p([a,b])$中稠密;$p = +\infty$不存在可数稠密子集。
【维尔斯特拉斯致密性定理:任意有界无穷序列有收敛子列即有聚点】【反例】$f_n = \sin nx,f_n\in L^2[0,2\pi]$

微分与不定积分

有界变差函数
单调函数的导数
绝对连续函数
勒贝格不定积分

这可太难了